Pārneses procesu matemātiksie modeļi un to risinājumi

A. Buiķis

LU projekti ir devuši iespēju projekta vadītājam un dalībniekiem regulāri piedalīties starptautiskās konferencēs. Tā veidojas jauni zinātniski kontakti, atpazīstamība un arī jaunas idejas perspektīviem pētījumiem. Projekta ietvaros 2007. gadā iegūti jauni  ļoti būtiski rezultāti divos virzienos: par sistēmām ar izstieptām virsmām un par modeļiem intensīvās tērauda rūdīšanas procesa aprakstam. (Jāatzīmē, ka pirmo priekšstatu par intensīvās tērauda rūdīšanas procesu projekta vadītājs guva 2005. gada augustā, par LU projekta naudu piedaloties siltuma un masas pārneses konferencē Korfu salā Grieķijā. Nākošā gada konferencē Krētā A. Buiķis jau piedalījās ar ielūgtu plenāra referātu, atklājot šo konferenci; sk. pievienotos foto no WSEAS konferenču mājas lapas: ”Reports”.)

HEAT TRANSFER, THERMAL ENGINEERING, ENVIRONMENT 2006 and FLUID MECHANICS and AERODYNAMICS 2006

Professor Buikis explaining important results during his Plenary Lecture

Over than 170 delegates attended

Iegūto rezultātu nozīmīguma apstiprina fakts, ka par šiem pētījumiem projekta vadītājs 2007. gadā tika ielūgts uzstāties ar plenāra referātiem trijās starptautiskās konferencēs: jūnijā Trakos, Lietuva, augustā Atēnās, Grieķija un decembrī Kairā, Ēģipte. Bez tam ir saņemti ielūgumi piedalīties bez dalības maksas pašam projekta vadītājam kopā ar saviem līdzstrādniekiem WSEAS konferencēs 2008.gada janvārī Meksikā un augustā Grieķijā (abās šajās konferencēs A.Buiķis ir arī zinātniskās (programmas) komiteju loceklis) un uzstāties ar plenāra referātiem konferencēs martā Maskavā un jūnijā Igaunijā (arī šeit A.Buiķis ir abu konferenču zinātnisko komiteju loceklis).  

BIO, HTE, FMA, AIC, ISCGAV, ISTASC, Athens, Greece, August 2007

Principiāli jauni svarīgi rezultāti iegūti problēmās par siltuma pārnesi sistēmās ar izstieptām virsmām. Var teikt, ka uz Grīna funkciju netradicionālu izmantošanu balstītā pieeja paver jaunas iespējas daudz plašāku matemātiskās fizikas problēmu klašu risināšanai, ne tikai siltuma pārneses procesiem. Jaunās pieejas pamatideja balstās uz to, ka apskatot problēmu sarežģītas ģeometriskas formas apgabalam, to bieži var sadalīt kā vairāku kanoniskas formas apakš apgabalu apvienojumu. Kā labi zināms, Grīna funkciju konstruktīvi (slēgtā formā – konkrētas matemātiskas izteiksmes izskatā) sarežģītas formas apgabalam izrakstīt nevar.  Taču, ja izdodas apgabalu sadalīt kanoniskos apakš apgabalos – tādos, kuru robežas kādā no ortogonālajām koordinātu sistēmām ir līmeņu virsmas – tad, katram no apakš apgabaliem Grīna funkciju var izrakstīt konstruktīvi. Tomēr, vietās, kur attiecīgais apakš apgabals saskaras ar blakus apakš apgabalu, nav doti klasiskie robežnosacījumi, bet gan tādas vai citādas formas saistības nosacījumi. Izmantojot šos nosacījumus, izstrādātajā metodē tos pārveido piemērota robežnosacījuma formā ar nezināmu labo pusi. Pēc tam jau klasiskā veidā tiek izmantota Grīna funkcija un problēmas atrisinājums apakš apgabalam tiek pārrakstīts kā integrāļu pa apgabalu robežu formā. Šādā veidā ir izdevies iegūt precīzo atrisinājumu sistēmai ar taisnstūra ribu, ribai cilindriskā koordinātu sistēmā, un ribu virknei Dekarta koordinātu sistēmā. Šo pieeju iespējams vispārināt arī sarežģītākas ģeometriskas formas siltuma maiņiem.

LU projekts visā savā darbības laikā uzsvērti izmantoja projekta vadītāja izstrādāto konservatīvās viduvēšanas metodi. 2007. gadā M. Buiķe šo metodi, kura ir sākotnēji izstrādāta parciālajiem diferenciālvienādojumiem ar pārtrauktiem koeficientiem, vispārināja daudzu dimensiju cilindriska tipa apgabalam gadījumiem, kad diferenciālvienādojumu koeficienti ir nepārtraukti. Izstrādātā pieeja tika izmantota, lai iegūtu tuvinātus atrisinājumus intensīvās tērauda rūdīšanas procesa modelim galīgam stienītim. Tādā veidā izdevās iegūt sākotnējās siltuma plūsmas izteiksmei (kura no prakses viedokļa ir visnozīmīgākā) formulu, iegūstot un atrisinot korektu inverso problēmu nekorektas inversās problēmas vietā. Abi šie aprakstītie rezultāti ir ļoti nozīmīgi no prakses viedokļa, un tādēļ par dažiem mēnešiem tiek aizkavēts M. Buiķes promocijas darba nobeigums (bija plānots darbu iesniegt 2007. gada beigās), jo tiek rakstītas vairākas nodaļas ar jaunajiem rezultātiem. 2007. gada oktobrī LU doktorantūru sekmīgi pabeidza R. Viļums un A. Piliksere, bet doktorantūrā iestājās S. Kostjukova. Visi viņi ar referātiem decembrī piedalījās starptautiskā multikonferencē Spānijā, referāti pilnā apjomā publicēti ISI izdevumos, kā arī saņemti uzaicinājumi šo publikāciju paplašinātas versijas  iesniegt prestižos starptautiskos žurnālos. R. Viļuma promocijas darba iesniegšana plānota 2008. gada vidū, bet A. Pilikseres –gadu vēlāk. Pēc katras no šīm WSEAS konferencēm tās organizētāji izvēlas labāko studenta publikāciju, vadoties no darba oriģinalitātes, paša studenta uzstāšanās un izklāsta kvalitātes. Par decembrī Tenerifē, Spānija notikušās 3. starptautiskās konferences „Lietišķā un teorētiskā mehānika” labāko studenta darbu atzīta Raimonda Viļuma uzstāšanās (publikācija [5]).

Pēdējos gados projekta vadītājs ir kļuvis par starptautiska žurnāla „WSEAS TRANSACTIONS on HEAT and MASS TRANSFER” redakcijas locekli (Associate Editor) un joprojām ir arī starptautisko žurnālu „International Journal of Applied Mathematical Sciences”, „Mathematical Modelling and Analysis”, „Computational Methods in Applied Mathematics” un ”Georgian Electronic Scientific Journal” redakcijas kolēģiju loceklis.  

Projektā ieplānotie mērķi ne tikai pilnībā sasniegti, bet arī pārsniegti. Bija paredzēti vismaz 5 referāti nozīmīgās starptautiskās konferencēs, patiesībā ir nolasīti 16 referāti (no tiem 4 ir ielūgtie plenāra referāti) 6 starptautiskās konferencēs, kā arī publicēti 7 raksti ISI izdevumos.  Projekta vadītājs arī nolasīja Lietuvas ZA ielūgtu lekciju ciklu par diferenču shēmu stabilitātes jautājumiem Lietuvas matemātikas doktorantiem.
 

Y-ZP09-100 publikācijas 

1. M. Buike, A. Buikis. Approximate Solutions of Heat Conduction Problems in Multi-dimensional Cylinder Type Domain by Conservative Averaging Method, Part 1. Heat Transfer, Thermal Engineering and Environment. WSEAS Press, 2007, p. 15-20.
2. A. Buikis, M. Buike. Approximate Solutions of Heat Conduction Problems in Multi-dimensional Cylinder Type Domain by Conservative Averaging Method, Part 2. Heat Transfer, Thermal Engineering and Environment. WSEAS Press, 2007, p. 21-26.
3. S. Kostjukova, A. Buikis. Mathematical Model for Diffusion-Sorption Processes in Layered Strata with Interlayers. Environmental Science, Ecosystems and Development. WSEAS Press, 2007, p.7-12.
4. A. Piliksere, A. Buikis. Exact Analytical 3-D Steady-State Solution for Cylindrical Fin. Topics in Advanced Theoretical and Applied Mechanics. WSEAS Press, 2007, p.1-6.
5. R. Vilums, A. Buikis. Transient Heat Conduction in 3D Fuse Modeled by Conservative Averaging Method. Topics in Advanced Theoretical and Applied Mechanics. WSEAS Press, 2007, p.54-59.
6. A. Buikis, M. Buike. Exact 3-D Solution for System with Rectangular Fin, Part 1. Applied Mathematics in Science and Engineering WSEAS Press, 2007, p. 64-69.
7. A. Buikis, M. Buike. Exact 3-D Solution for System with Rectangular Fin, Part 2. Applied Mathematics in Science and Engineering WSEAS Press, 2007, p. 70-75