Kursa kods Mate7000
Fakultāte Datorikas fakultāte
Kredītpunkti, lekciju skaits
Kredītpunkti ECTS kredītpunkti Kopējais auditoriju stundu skaits Lekciju stundu skaits Studenta patstāvīgā darba stundu skaits
2 3 32 32 48
E-kursi 2MAT7000: Gēdela teorēma
Kursa anotācija Matemātiskās loģikas kursa otrā daļa. Kursā ir 4 nodaļas:
1. Aksiomātiskās teorijas.
Kopu teorijas rašanās. Rasela paradokss. Cermelo-Frenkeļa aksiomas (ZFC). Kontinuum-problēmas neatrisināmība. Lielo kardināļu aksiomas. Formālā aritmētika.
2. Gēdela teorēma par nepilnību.
Meļa paradokss. Sintakses aritmetizācija. Gēdela pirmā teorēma par nepilnību. Aritmētikas nestandarta modeļi. Hilberta programma. Gēdela otrā teorēma par nepilnību.
3. Saistītie rezultāti.
Teorēma par divkāršo nepilnību. Gēdela teorēma par pierādījumu garumiem. Matemātikas “neizbēgami radošā daba” - teorēma par secināšanas algoritmisko neatrisināmību. Teorēmas par naturālajiem skaitļiem, ko var pierādīt kopu teorijā, bet nevar pierādīt aritmētikā. Herkulesa un hidras uzdevums.
4. Kas ir matemātika?

Nepilnības teorēmu filozofiskie secinājumi matemātikai un datorzinātnei. Datoru izmantošana matemātikā un tās sekas. Formālisms un platonisms.





Rezultāti Pārdomāts viedoklis par matemātikas un teorētiskās datorzinātnes pamatprincipiem un to vietu citu zinātņu vidū (koncepti em11, EM12).
Apgūtas kopu teorijas un aritmētikas formalizācijas metodes un ar tām saistītie filozofiskie secinājumi (koncepti EM12, prakse EM53)

Apgūta Gēdela teorēma par nepilnību, un ar to saistītie matemātiskie rezultāti un filozofiskie secinājumi (koncepti em11, EM13)



Kursa plāns 1. Kopu teorijas rašanās. Rasela paradokss. L2
2. Aksiomātiskā kopu teorija. Cermelo-Frenkeļa aksiomas (ZFC). L5
3. Izvēles aksioma un tās sekas. Kontinuum-problēmas neatrisināmība. Lielo kardināļu aksiomas. L4
4. Formālā aritmētika. Reprezentācijas teorēma. L3
5. Meļa paradokss. Sintakses aritmetizācija. Pašreferences lemma. L1
6. Gēdela pirmā teorēma par nepilnību. Rosera versija. Aritmētikas nestandarta modeļi. L5
7. Hilberta programma. Gēdela otrā teorēma par nepilnību. L2
8. Teorēma par divkāršo nepilnību. Gēdela teorēma par pierādījumu garumiem. L1
9. Matemātikas “neizbēgami radošā daba” - teorēma par secināšanas algoritmisko neatrisināmību. L2
10. Teorēmas par naturālajiem skaitļiem, ko var pierādīt kopu teorijā, bet nevar pierādīt aritmētikā. Gudsteina virknes. Herkulesa un hidras uzdevums. Ramseja teorēma. L2
11. Kas ir matemātika? Nepilnības teorēmu filozofiskie secinājumi matemātikai un datorzinātnei. L2
12. Kas ir matemātika? Datoru izmantošana matemātikā un tās sekas. L1

13. Kas ir matemātika? Vai skaitļi eksistē fiziskajā pasaulē? Platons, Kants, Hilberts. Formālisms un platonisms.L2







Prasības kredītpunktu iegūšanai Maģistrantiem: jāaizpilda LUIS anketa ar kursa vērtējumu.
Katrā no 2 klātienes kontroldarbiem ir jāiegūst vismaz atzīme 4 (1.kontroldarbs – semestra laikā, otrais – kā rakstisks eksāmens).
Regulāri, katru nedēļu, jāpilda e-kursā dotie mājas darbi Par katru uzdevumu var saņemt noteiktu punktu skaitu. Atzīmi M (0 līdz 9) nosaka kopējais iegūto punktu skaits: 90% un vairāk - 9, 80% - 8, 65% - 7, 55% - 6, 45% - 5, 35% - 4, mazāk - 0.
Kursa gala atzīme tiek aprēķināta pēc formulas (K1+K2+2*M)/4, kur K1, K2 – klātienes kontroldarbu atzīmes; M – atzīme par e-kursa mājas darbu izpildi. Tādā veidā starppārbaudījumu atzīmes sastāda 75% no kopēja kursa vērtējuma, rakstiskais eksāmens - 25%.
Atzīmes 10 iegūšanai:
a) jāiegūst kursa gala atzīme 9;
b) jāizstrādā kursa darbs-eseja, vai arī mājas darbu un kontroldarbu uzdevumi jārisina, pārsniedzot kursa prasības.

Maģistrantiem šis kurss ir i-kurss: izcilības kredītpunktu iegūšanai kurss jānokārto ar atzīmi 7 (labi) vai labāku.


Mācību literatūra 1. Kārlis Podnieks. What Is Mathematics? Gödel's Theorem and Around. 1997-2015, pieejama tiešsaistē LU e-resursu repozitorijā: https://dspace.lu.lv/dspace/handle/7/2777


Papildus literatūra 1. Elliott Mendelson. Introduction to Mathematical Logic. Chapman & Hall, 1997, 456 pp. (LUB - 2 eks.) (sk. arī krievu izdevumu, der jebkura gada izlaidums, LUB - 3 eks.).

2. Stephen C. Kleene. Mathematical Logic. Dover Publications, 2002, 416 pp. (sk. arī krievu izdevumu, LUB - 8 eks.).






Periodika un citi informācijas avoti 1. John Tabak, Karlis Podnieks. The Nature of Mathematics – an interview with Professor Karlis Podnieks. In: John Tabak. Numbers: Computers, Philosophers, and the Search for Meaning. Revised Edition. Facts on File, 2011, 243 pp. (Afterword, pp.188–197). Pieejams tiešsaistē: http://scireprints.lu.lv/192/

2. Karlis Podnieks. Fourteen Arguments in Favour of a Formalist Philosophy of Real Mathematics. Baltic J. Modern Computing, Vol. 3, N 1, 2015, pp. 1–15.




Studiju programmas Datorzinātnes
Datorzinātnes